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Erwartungswert

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen x ist als das Stieltjes-Integral

E[X]:= \int^{+\infty} _{-\infty} z\ dF_x(z)

definiert (Verteilungsfunktion).

Im Fall P[X ? N0 ] = 1  gilt

E[X] = \sum^\infty_{k=0}k\ P[X=k]

und für jede Funktion h gilt dann

E[h(X)]= \sum^\infty_{k=0} h(k) \ P[X =k].

Im Fall P[X\le x] = \int^x_{-\infty}f(z)dz mit einer Funktion F : R ? R+ gilt E[X]= \int^{+\infty}_{-\infty}\ z \ f(z) dz und für jede stetige Funktion h gilt dann E[h(X)] = \int ^{+\infty}_{-\infty} h(z) \ f(z)\ dz.

Allgemein gilt: E[a + bX + cY] = a + bE[X] + cE[Y].

Autor(en): Professor Dr. Klaus D. Schmidt

 

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