Prämienprinzip

Abbildung H: R_H → R₊, die jedem zufälligen Risiko X aus der Klasse R_H eine Prämie H[X] zuordnet und folgende Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt E[X] ≤ H[X]. (Die Prämie ist mindestens so groß wie die Nettoprämie.)

(ii) Besitzen X und Y dieselbe Verteilungsfunktion, so gilt H[X] = H[Y]. (Die Prämie hängt nur von der Verteilungsfunktion des Risikos ab.)

(iii) Es gilt P[X > H[X]] > 0 (no-arbitrage-Bedingung). (Die Prämie ist so bemessen, dass die Schadenhöhe mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit größer ist als die Prämie; das Versicherungsunternehmen erzielt also keinen sicheren Gewinn.) Die Klasse R_H wird als Klasse der unter H versicherbaren Risiken bezeichnet. Ein konstantes Risiko ist unter keinem Prämienprinzip versicherbar; dies ist ökonomisch sinnvoll. Andererseits wird anstelle der Bedingung (iii) in der älteren Literatur die Bedingung (iv) gefordert:

(iv) Es gilt H[X] ≤ M[X] (no-rip-off-Bedingung), wobei M[X] die maximale Schadenhöhe des Risikos X bezeichnet. Diese Bedingung ist ökonomisch sinnlos, weil kein Versicherungsvertrag mit der Prämie H[X] = M[X] zustande kommen würde. Unter den vielen Bedingungen, die zusätzlich an ein Prämienprinzip gestellt werden können, ist die Bedingung (v) von besonderem Interesse:

(v) Für alle c > 0  gilt H[cX] = cH[X] (positive Homogenität). Diese Bedingung ist sinnvoll im Hinblick auf Währungsumstellungen, wird aber nur von wenigen Prämienprinzipien erfüllt. Beispiele für Prämienprinzipien sind das Erwartungswertprinzip, das Esscher-Prinzip, das Exponentialprinzip, das Nettoprämienprinzip, das Nullnutzenprinzip, das Quantilsprinzip, das Standardabweichungsprinzip und das Varianzprinzip. Das Kovarianzprinzip und das Maximalschadenprinzip sind hingegen keine Prämienprinzipien.

 

Autor(en): Prof. Dr. Klaus D. Schmidt